2022 年考研数学（一） 第 12 题

遇到 $\ln x$ 与 $\sqrt{x}$ 混合，思路是「用代换或凑微分消去根号，把 $\ln$ 单独留给分部积分」。令 $t=\sqrt{x}$ 后积分化为 $4{\int }_1^e\ln tdt$，最为干净；或直接把 $\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 看成 $2d(\sqrt{x})$ 分部，也殊途同归。重点是先识别「根号 + 对数」这一组合的处理套路。

本题考查定积分的计算。 被积函数含 $\sqrt{x}$，可作根式代换；也可用分部积分法。

（法一）根式代换。 令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2tdt$，$x:1\to e^2$ 时 $t:1\to e$。
$${\int }_1^{e^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx={\int }_1^e\frac{2\ln t}{t}\cdot 2tdt=4{\int }_1^e\ln tdt=4(t\ln t{|}_1^e-{\int }_1^{e}t\cdot \frac{1}{t}dt)=4[e-(e-1)]=4.$$

（法二）分部积分。 ${\int }_1^{e^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=2{\int }_1^{e^2}\ln xd(\sqrt{x})=2(\sqrt{x}\ln x{|}_1^{e^2}-{\int }_1^{e^2}\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}dx)=2(2e-{\int }_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx)=4e-4\sqrt{x}{|}_1^{e^2}=4e-(4e-4)=4.$

故应填 $4$。