2022 年考研数学（一） 第 13 题

含参恒成立问题的通法是「分离参数」，把 $k$ 与变量彻底分开，则 $k$ 的临界值恰是另一侧函数的最大值。识别出要在 $x,y\ge 0$ 这个无界区域上求 $f=(x^2+y^2)e^{-(x+y)}$ 的最大值后，按「内部驻点 + 边界」两路搜索；比较发现边界点 $(2,0),(0,2)$ 给出的 $4e^{-2}$ 胜过内部驻点，从而定出下界。

本题考查二元函数在闭区域上的最值。 不等式 $x^2+y^2\le k{e}^{x+y}$ 等价于 $(x^2+y^2)e^{-(x+y)}\le k$。记 $f(x,y)=(x^2+y^2)e^{-(x+y)}$，$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0\}$。恒成立即要求 $f$ 在 $D$ 上的最大值 $M\le k$，故 $k$ 的取值范围为 $[M,+\infty )$。

求内部驻点。
$$f_x=(2x-x^2-y^2)e^{-(x+y)},f_y=(2y-x^2-y^2)e^{-(x+y)}.$$
令 $\{\begin{array}{l}2x-x^2-y^2=0,\\ 2y-x^2-y^2=0,\end{array}$ 两式相减得 $x=y$，代入得 $2x-2x^2=0$，即 $x=0$ 或 $x=1$。区域内部唯一驻点为 $(1,1)$，$f(1,1)=2e^{-2}$。

求边界最大值。 在 $x=0$ 上 $f(0,y)=y^2{e}^{-y}$，令其导数 $(2y-y^2)e^{-y}=0$ 得 $y=2$，$f(0,2)=4e^{-2}$ 为该边界上的最大值；由对称性，在 $y=0$ 上最大值为 $f(2,0)=4e^{-2}$。

比较 $f(1,1)=2e^{-2}$ 与 $f(0,2)=f(2,0)=4e^{-2}$，得 $f$ 在 $D$ 上的最大值 $M=4e^{-2}$。故 $k$ 的取值范围为 $[4e^{-2},+\infty )$。