2022 年考研数学（一） 第 14 题

一般项含 $n!$、$n^n$、指数三种随 $n$ 剧烈变化的因子，首选比值判别法。算出 $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-1-x}$，令其 $<1$ 立得 $x>-1$。切记比值 $=1$ 的端点判别法无效，必须回代 $x=-1$ 单独看通项是否趋于 $0$——本题该点通项不趋于 $0$ 故发散，收敛域为开区间，$a=-1$。

本题考查函数项级数的收敛域。 一般项为 $u_n=\frac{n!}{n^n}{e}^{-nx}$，用比值判别法确定收敛条件。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}{e}^{-x}=e^{-x}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=e^{-x}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}=e^{-1-x}.$$

由比值判别法：当 $e^{-1-x}<1$，即 $x>-1$ 时级数收敛；当 $e^{-1-x}>1$，即 $x<-1$ 时级数发散。

当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{e}^n$。由 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{e}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}>\frac{e}{e}=1$（因 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<e$），知 $\{u_n\}$ 单调增，$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$，级数发散。

故收敛域为 $(-1,+\infty )$，$a=-1$。故应填 $-1$。