乐思数学通 › 考研数学（一） › 真题检索 › 2022 年
2022 年考研数学（一） 第 15 题
填空题 · 5 分
已知矩阵 和 可逆，其中 为单位矩阵。若矩阵 满足 ，则 ______.
提示 1
系数 里带逆矩阵，直接乘 不便。设法两端左乘 ，把这个逆「消化」掉。提示 2
乘开后 会让式子大为简化，得到只含 的矩阵等式。提示 3
化简到 一类形式后，用 可逆左乘 解出 ，进而求 ；全程注意矩阵不可交换，乘在哪一侧要一致。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
见到系数含 ，本能就是两端左乘 ，靠 消掉逆、把方程降为多项式型矩阵等式，再用 可逆约去 。核心是「用可逆因子左乘化简」并始终保持乘法方向一致（矩阵不交换），如此逐步逼出 。
解答
本题考查矩阵运算。 已知等式中 较复杂，先设法化简。
（法一） 在 两端左乘 ，得
即 ，。因 可逆，两端左乘 得 ，即 。
（法二） 注意到 ，故由 可逆得
于是 与 互为逆矩阵。在原式两端左乘 得 ，故 。
故应填 。
（法一） 在 两端左乘 ，得
即 ，。因 可逆，两端左乘 得 ，即 。
（法二） 注意到 ，故由 可逆得
于是 与 互为逆矩阵。在原式两端左乘 得 ，故 。
故应填 。