2022 年考研数学（一） 第 19 题

看到「空间闭曲线上的第二类曲线积分」，标准两法是分段直算与斯托克斯公式，本题两法皆通。分段时利用每段某坐标为常数使多数项消失，并识别 $-\cos zdx+x\sin zdz=d(-x\cos z)$ 这一恰当微分从而用端点求值；斯托克斯法则化成旋度的曲面积分，再靠补面与高斯公式说明为 $0$。识别「哪些项在哪段为零」「哪部分是恰当微分」是快速得 $0$ 的关键。

本题考查空间曲线积分的计算。 可将 $L$ 分成三段直接计算，也可用斯托克斯公式。

（法一）分段计算。 按右手法则，$L$ 沿 $L_1\to L_2\to L_3$ 逆时针。
在 $L_1$ 上 $z=0$，$dz=0$，起点 $(\frac{1}{2},0,0)$、终点 $(0,1,0)$；在 $L_2$ 上 $x=0$，$dx=0$，起点 $(0,1,0)$、终点 $(0,0,1)$；在 $L_3$ 上 $y=0$，$dy=0$，起点 $(0,0,1)$、终点 $(\frac{1}{2},0,0)$。

代入被积表达式（含 $y,z$ 的项在相应段上取零）：
$$I={\int }_{L_1}(-\cos 0)dx+{\int }_{L_3}[(-\cos z)dx+x\sin zdz].$$
$L_1$ 段：${\int }_{L_1}(-1)dx=(-1)(0-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。$L_3$ 段：注意 $(-\cos z)dx+x\sin zdz=d(-x\cos z)$，故
$${\int }_{L_3}d(-x\cos z)=(-x\cos z){|}_{(0,0,1)}^{(\frac{1}{2},0,0)}=-\frac{1}{2}\cos 0-(-0)=-\frac{1}{2}.$$

所以 $I=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0$。

（法二）斯托克斯公式。 因 $L$ 的方向与 $\Sigma$ 的上侧符合右手法则，
$$I={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y{z}^2-\cos z& 2x{z}^2& 2xyz+x\sin z\end{array}\right|.$$
计算旋度各分量：${\partial }_y(2xyz+x\sin z)-{\partial }_z(2x{z}^2)=2xz-4xz=-2xz$；$-[{\partial }_x(2xyz+x\sin z)-{\partial }_z(y{z}^2-\cos z)]=-[(2yz+\sin z)-(2yz+\sin z)]=0$；${\partial }_x(2x{z}^2)-{\partial }_y(y{z}^2-\cos z)=2z^2-z^2=z^2$。故
$$I={\iint }_{\Sigma }(-2xz)dydz+z^{2}dxdy.$$

补面 ${\Sigma }_1:z=0$（取下侧）、${\Sigma }_2:x=0$（取后侧）、${\Sigma }_3:y=0$（取左侧），使 $\Sigma ,{\Sigma }_1,{\Sigma }_2,{\Sigma }_3$ 围成闭区域 $\Omega$（外侧）。由高斯公式
$$\iint (-2xz)dydz+z^{2}dxdy={\iiint }_{\Omega }(-2z+2z)dv=0.$$
又在 ${\Sigma }_1$（$z=0$）、${\Sigma }_2$（$x=0$）、${\Sigma }_3$（$y=0$，且它垂直于两坐标面）上，$\iint (-2xz)dydz+z^{2}dxdy$ 均为 $0$。故
$$I=0-0=0.$$

综上，$I=0$。