2022 年考研数学（一） 第 20 题

不等式左边是中点值、右边是区间平均，正是「下凸函数中点值 $\le$ 平均值」的解析版本，提示用中点处的泰勒展开搭桥。中点展开的妙处在于一次项积分自动为零，把 $f^{\prime \prime }$ 的符号干净地暴露在余项里。必要性顺推即可；充分性无法由不等式直接解出 $f^{\prime \prime }$，故用反证 + $f^{\prime \prime }$ 连续的保号性，把「某点为负」放大成「一小区间为负」再套同一积分不等式制造矛盾。

本题综合考查一元微积分中的连续性、凹凸性等概念。 该结论的几何意义是：凹（下凸）函数在区间中点的取值不超过其在区间上的平均值。

（必要性）设 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$，证不等式。 不妨设 $b>a$。在 $[a,b]$ 上用 $f(x)$ 在中点 $\frac{a+b}{2}$ 处的一阶泰勒公式：
$$f(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{a+b}{2}\right)(x-\frac{a+b}{2})+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\xi }_x)(x-\frac{a+b}{2}{)}^2,$$
其中 ${\xi }_x$ 介于 $x$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 之间。

两端在 $[a,b]$ 上积分。注意 ${\int }_a^b(x-\frac{a+b}{2})dx=\frac{x^2}{2}{|}_a^b-\frac{(a+b)(b-a)}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}-\frac{b^2-a^2}{2}=0$，故
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^{\prime \prime }({\xi }_x)(x-\frac{a+b}{2}{)}^{2}dx.$$
因 $f^{\prime \prime }({\xi }_x)\ge 0$，被积项非负，故 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$，即 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。

（充分性）设对不同的 $a,b$ 恒有该不等式，证 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$。 用反证法。假设存在 $x_0$ 使 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$。由 $f^{\prime \prime }$ 连续及极限的保号性，存在 $\delta >0$，使在 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 内恒有 $f^{\prime \prime }(x)<0$。取 $[a_0,b_0]\subset (x_0-\delta ,x_0+\delta )$，在其上 $f^{\prime \prime }(x)<0$。

在 $[a_0,b_0]$ 上重复必要性中的推导，得
$${\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx=f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)(b_0-a_0)+\frac{1}{2}{\int }_{a_0}^{b_0}{f}^{\prime \prime }({\xi }_x)(x-\frac{a_0+b_0}{2}{)}^{2}dx.$$
因 $f^{\prime \prime }({\xi }_x)<0$，积分项严格为负，故 ${\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx<f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)(b_0-a_0)$，即 $f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)>\frac{1}{b_0-a_0}{\int }_{a_0}^{b_0}f(x)dx$，与前提矛盾。

故假设不成立，$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上恒成立。综上，$f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 的充分必要条件是对不同的实数 $a,b$ 有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。证毕。