2022 年考研数学（一） 第 21 题

抓住 $a_{ij}=ij$ 意味着 $A$ 是秩 $1$ 矩阵（外积 $\alpha {\alpha }^{\mathrm{T}}$ 型），这一观察贯穿全题：秩 $1$ 对称阵的特征值必为「迹, $0$, $0$」，省去解特征多项式；$f$ 本身是完全平方 $(x_1+2x_2+3x_3{)}^2$，既解释标准形只有一项 $14y_1^2$，又让 $f=0$ 退化为线性方程 $x_1+2x_2+3x_3=0$。看穿「秩 $1$ = 完全平方」的结构是本题最省力的入口。

本题考查二次型的矩阵、标准形及其应用。

（Ⅰ） 由 $f=\sum _{i,j}ij{x}_i{x}_j$ 知其对称矩阵 $A$ 的 $(i,j)$ 元 $a_{ij}=ij$，故
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right).$$

（Ⅱ） $A$ 的各行成比例，秩为 $1$，迹为 $1+4+9=14$。$A$ 为实对称矩阵，必可对角化，相似矩阵有相同的秩与迹，故 $A$ 的特征值为 $14,0,0$。

属于特征值 $0$ 的特征向量： 解 $(0E-A)x=0$，即 $-Ax=0$，等价于 $x_1+2x_2+3x_3=0$。取 ${\xi }_2=(-2,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_3=(-3,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。属于特征值 $14$ 的特征向量： 由实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，${\xi }_1$ 与 ${\xi }_2,{\xi }_3$ 均正交，可取 ${\xi }_1=(1,2,3{)}^{\mathrm{T}}$。

正交化、单位化。 ${\xi }_1$ 已与 ${\xi }_2,{\xi }_3$ 正交，只需将 ${\xi }_2,{\xi }_3$ 正交化：令 ${\beta }_2={\xi }_2=(-2,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，
$${\beta }_3={\xi }_3-\frac{({\beta }_2,{\xi }_3)}{\Vert {\beta }_2{\Vert }^2}{\beta }_2=(-3,0,1{)}^{\mathrm{T}}-\frac{6}{5}(-2,1,0{)}^{\mathrm{T}}=(-\frac{3}{5},-\frac{6}{5},1{)}^{\mathrm{T}}.$$
取整比例向量 $(-3,-6,5{)}^{\mathrm{T}}$。单位化得
$${\epsilon }_1=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\epsilon }_3=\frac{1}{\sqrt{70}}(-3,-6,5{)}^{\mathrm{T}}.$$

令 $Q=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{14}}& -\frac{2}{\sqrt{5}}& -\frac{3}{\sqrt{70}}\\ \frac{2}{\sqrt{14}}& \frac{1}{\sqrt{5}}& -\frac{6}{\sqrt{70}}\\ \frac{3}{\sqrt{14}}& 0& \frac{5}{\sqrt{70}}\end{array}\right)$，则 $Q$ 为正交矩阵，$Q^{\mathrm{T}}AQ=\mathrm{diag}(14,0,0)$。正交变换 $x=Qy$ 将 $f$ 化为标准形 $f=14y_1^2$。

（Ⅲ） 由 $f=\sum _{i,j}ij{x}_i{x}_j=(x_1+2x_2+3x_3{)}^2$，故 $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 当且仅当 $x_1+2x_2+3x_3=0$。该齐次方程的通解为
$$k_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right),$$
其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。