2022 年考研数学（一） 第 22 题

多总体最大似然的通法是「把所有样本密度乘成一个 $L(\theta )$，取对数再求导」。本题要害是 $Y$ 的均值为 $2\theta$，写密度和求导都要带好 $\frac{1}{2\theta }$ 这个因子，否则驻点会错。得到 $\hat{\theta }$ 后，$D(\hat{\theta })$ 只是独立随机变量线性组合的方差计算，代入指数分布「方差 = 均值平方」即得简洁结果 $\frac{{\theta }^2}{m+n}$。

本题考查最大似然估计法及指数分布的性质。 均值为 $\mu$ 的指数分布即参数 $\lambda =\frac{1}{\mu }$ 的指数分布，其密度为 $\frac{1}{\mu }{e}^{-x/\mu }(x>0)$，方差为 ${\mu }^2$。

由 $E(X)=\theta$，$X$ 的密度为 $f_X(x)=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$；由 $E(Y)=2\theta$，$Y$ 的密度为 $f_Y(y)=\frac{1}{2\theta }{e}^{-y/(2\theta )}(y>0)$。

写出似然函数。 设 $x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_m$（均为正）为样本值，则
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\theta }{e}^{-x_i/\theta }\prod _{j=1}^m\frac{1}{2\theta }{e}^{-y_j/(2\theta )}=\frac{1}{2^m{\theta }^{m+n}}\exp \left(-\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{\theta }-\frac{{\sum }_{j=1}^m{y}_j}{2\theta }\right).$$

取对数并求导。
$$\ln L(\theta )=-m\ln 2-(m+n)\ln \theta -\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{\theta }-\frac{{\sum }_{j=1}^m{y}_j}{2\theta }.$$
令 $\frac{d\ln L(\theta )}{d\theta }=-\frac{m+n}{\theta }+\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{{\theta }^2}+\frac{{\sum }_{j=1}^m{y}_j}{2{\theta }^2}=0$，解得
$$\theta =\frac{2{\sum }_{i=1}^n{x}_i+{\sum }_{j=1}^m{y}_j}{2(m+n)}.$$

故 $\theta$ 的最大似然估计量为
$$\hat{\theta }=\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i+{\sum }_{j=1}^m{Y}_j}{2(m+n)}.$$

求 $D(\hat{\theta })$。 由样本相互独立，$D(X_i)={\theta }^2$，$D(Y_j)=(2\theta {)}^2=4{\theta }^2$，故
$$D(\hat{\theta })=\frac{1}{4(m+n{)}^2}\left[4\sum _{i=1}^{n}D(X_i)+\sum _{j=1}^{m}D(Y_j)\right]=\frac{4n{\theta }^2+4m{\theta }^2}{4(m+n{)}^2}=\frac{(m+n){\theta }^2}{(m+n{)}^2}=\frac{{\theta }^2}{m+n}.$$