2022 年考研数学（一） 第 18 题

关键信号是分母 $x^2+y^2$ 配 $(x-y{)}^2$——换极坐标后 $r$ 完全消去，被积函数只剩角度部分，这类结构几乎注定用极坐标。难点在区域跨两个象限、外边界一段是圆一段是直线，故要按 $\theta$ 分片。特别地在直线段上 $r$ 上限的平方与被积函数相消，使第二片退化为常数积分，正是极坐标的巧妙之处。

本题考查二重积分的计算。 根据积分区域与被积函数的特点，宜在极坐标系下计算。

由 $D$ 的表达式知，$D$ 是由直线 $y=x+2$、圆 $x^2+y^2=4$ 及 $x$ 轴围成的区域。直线 $y=x+2$ 在极坐标下为 $r=\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$，圆 $x^2+y^2=4$ 在极坐标下为 $r=2$。将 $D$ 分为两部分：
$$D_1=\left\{(r,\theta )|0\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\right\},D_2=\left\{(r,\theta )|0\le r\le \frac{2}{\sin \theta -\cos \theta },\frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi \right\}.$$

被积函数在极坐标下 $\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{r^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2}{r^2}=(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$。故
$$I={\iint }_D(\cos \theta -\sin \theta {)}^{2}rdrd\theta ={\int }_0^{\pi /2}(\cos \theta -\sin \theta {)}^{2}d\theta {\int }_0^{2}rdr+{\int }_{\pi /2}^{\pi }(\cos \theta -\sin \theta {)}^{2}d\theta {\int }_0^{\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }}rdr.$$

第一部分（$D_1$）：${\int }_0^{2}rdr=2$，且 $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2=1-\sin 2\theta$，
$$2{\int }_0^{\pi /2}(1-2\sin \theta \cos \theta )d\theta =2(\frac{\pi }{2}-{\sin }^2\theta {|}_0^{\pi /2})=2(\frac{\pi }{2}-1)=\pi -2.$$

第二部分（$D_2$）：${\int }_0^{\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }}rdr=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}=\frac{2}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}$，而 $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2=(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$，故被积表达式为常数 $2$，
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }(\cos \theta -\sin \theta {)}^2\cdot \frac{2}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}d\theta ={\int }_{\pi /2}^{\pi }2d\theta =2\cdot (\pi -\frac{\pi }{2})=\pi .$$

综上，$I=(\pi -2)+\pi =2\pi -2$。