2022 年考研数学（一） 第 17 题

先认出「一阶线性」题型，机械地用通解公式求出 $y(x)$（定义域 $x>0$）。求渐近线的思路是按定义分类排查：$x\to 0^{+}$ 时 $y$ 有限故无铅直渐近线，$x\to +\infty$ 时 $y\to \infty$ 故无水平渐近线，于是只可能有斜渐近线，用 $k,b$ 的极限公式求出。关键是把「解方程」和「渐近线判定」两个标准流程串接起来。

本题考查一阶线性微分方程的求解与曲线渐近线的判定。 该方程为一阶非齐次线性微分方程，先由通解公式求出 $y(x)$，再讨论渐近线。

由通解公式，注意 $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}$，
$$y=e^{-\sqrt{x}}\left[\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx+C\right].$$

计算 $\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx$：令 $u=\sqrt{x}$，$x=u^2$，$dx=2udu$，则
$$\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int (2+u)u{e}^{u}du=2(\int u^{2}d(e^u)+\int 2u{e}^{u}du)=2(u^2{e}^u-\int 2u{e}^{u}du+\int 2u{e}^{u}du)=2u^2{e}^u+C_1=2x{e}^{\sqrt{x}}+C_1.$$

代回得 $y=e^{-\sqrt{x}}(2x{e}^{\sqrt{x}}+C)=2x+C{e}^{-\sqrt{x}}$。由 $y(1)=3$ 得 $3=2+C{e}^{-1}$，解得 $C=e$。故
$$y(x)=2x+e^{1-\sqrt{x}},x\in (0,+\infty ).$$

判定渐近线。 因 $y(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内连续，且 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y(x)=e$（有限），故无铅直渐近线；又 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=+\infty$，故无水平渐近线。

斜渐近线：
$$k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+e^{1-\sqrt{x}}}{x}=2,b=\underset{x\to +\infty }{\lim }[y(x)-2x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{1-\sqrt{x}}=0.$$
因此 $y=2x$ 是曲线 $y=2x+e^{1-\sqrt{x}}$ 的斜渐近线，也是该曲线唯一的渐近线。