2021 年考研数学（一） 第 20 题

识别信号：（Ⅰ）二重积分取最大值的区域由被积函数符号决定——只收非负部分，故 $D_1$ 是圆盘 $x^2+y^2\le 4$，极坐标计算。（Ⅱ）被积函数在原点有奇点且满足 $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$（除原点外），典型的“挖洞 + 格林”套路：换成绕原点的小椭圆积分，选 $x^2+4y^2={\epsilon }^2$ 使分母与指数同时化简，再用格林公式算出定值。

本题考查二重积分与第二类曲线积分的计算。 二重积分取最大值的区域由被积函数符号确定；第 (Ⅱ) 问中 $(0,0)$ 是被积函数的奇点，需用挖洞法配合格林公式。

（Ⅰ） 取 $D_1$ 使其含所有使被积函数非负的点、不含使其小于零的点，即取 $4-x^2-y^2\ge 0$ 的圆盘 $D_1=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$，此时 $I(D)$ 取最大值。用极坐标：
$$I(D_1)={\iint }_{D_1}(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^2(4-r^2)r\mathrm{d}r=2\pi \left(2r^2-\frac{r^4}{4}\right){|}_0^2=2\pi (8-4)=8\pi .$$

（Ⅱ） 记 $P=\frac{x{e}^{x^2+4y^2}+y}{x^2+4y^2}$，$Q=\frac{4y{e}^{x^2+4y^2}-x}{x^2+4y^2}$。当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时，直接计算可得 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。原点是被积函数的奇点，且含于 $D_1$ 内。

作辅助曲线 $L^{\prime }:x^2+4y^2={\epsilon }^2$（$\epsilon$ 足够小，使其含于 $L=\partial D_1$ 内），参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\epsilon \cos t,\\ y=\frac{\epsilon }{2}\sin t,\end{array}$ $t:0\to 2\pi$，正向为逆时针。在 $L$ 与 $L^{\prime -}$ 所围区域 $D_1\setminus D_0$ 上无奇点，由格林公式 ${\oint }_{L+L^{\prime -}}={\iint }_{D_1\setminus D_0}0\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，故 ${\oint }_L={\oint }_{L^{\prime }}$。

在 $L^{\prime }$ 上 $x^2+4y^2={\epsilon }^2$，故
$$I={\oint }_{L^{\prime }}\frac{(x{e}^{x^2+4y^2}+y)\mathrm{d}x+(4y{e}^{x^2+4y^2}-x)\mathrm{d}y}{x^2+4y^2}=\frac{1}{{\epsilon }^2}{\oint }_{L^{\prime }}(x{e}^{{\epsilon }^2}+y)\mathrm{d}x+(4y{e}^{{\epsilon }^2}-x)\mathrm{d}y.$$
对 $L^{\prime }$ 所围区域 $D_0$ 用格林公式：
$$I=\frac{1}{{\epsilon }^2}{\iint }_{D_0}\left[\frac{\partial (4y{e}^{{\epsilon }^2}-x)}{\partial x}-\frac{\partial (x{e}^{{\epsilon }^2}+y)}{\partial y}\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{{\epsilon }^2}{\iint }_{D_0}(-1-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

$D_0$ 是半轴为 $\epsilon$ 与 $\frac{\epsilon }{2}$ 的椭圆域，面积为 $\pi \cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon }{2}$，故
$$I=-\frac{2}{{\epsilon }^2}\cdot \pi \epsilon \cdot \frac{\epsilon }{2}=-\pi .$$