2021 年考研数学（一） 第 19 题

识别信号：在两曲面的交线（曲线 $C$）上求“到坐标面距离”的最值，是带两个等式约束的条件极值问题，用拉格朗日乘数法。目标函数取 $z^2$ 便于求导。解方程组时先消乘子得到分支条件 $\lambda (4y-x)=0$，分类讨论排除无解分支，剩下的临界点比较 $|z|$ 取最大。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）。 点 $(x,y,z)$ 到 $xOy$ 面的距离为 $|z|$，故目标函数取 $f(x,y,z)=z^2$，约束为点落在曲线 $C$ 上（两个等式约束）。

记 $\phi =x^2+2y^2-z-6$，$\psi =4x+2y+z-30$，构造拉格朗日函数
$$L(x,y,z,\lambda ,\mu )=z^2+\lambda (x^2+2y^2-z-6)+\mu (4x+2y+z-30).$$
令各偏导为零：
$$L_x^{\prime }=2\lambda x+4\mu =0,(1)$$
$$L_y^{\prime }=4\lambda y+2\mu =0,(2)$$
$$L_z^{\prime }=2z-\lambda +\mu =0,(3)$$
$$x^2+2y^2-z-6=0,(4)$$
$$4x+2y+z-30=0.(5)$$

由 $(2)\times 2-(1)$ 得 $\lambda (4y-x)=0$。

(i) 若 $\lambda =0$，则由 (1)(2) 得 $\mu =0$，再由 (3) 得 $z=0$。此时 (4)(5) 化为 $\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=6,\\ 2x+y=15,\end{array}$ 直线 $2x+y=15$ 位于椭圆 $x^2+2y^2=6$ 外，无解。

(ii) 若 $4y-x=0$，即 $x=4y$，先由 (4)+(5) 消去 $z$：$x^2+4x+2y^2+2y=36$。代入 $x=4y$ 得 $16y^2+16y+2y^2+2y=36$，整理为 $y^2+y-2=0$，解得 $y=-2$ 或 $y=1$。

当 $y=-2,x=-8$ 时，由 (5) 得 $z=66$；当 $y=1,x=4$ 时，由 (5) 得 $z=12$。

比较可得，$C$ 上点 $(-8,-2,66)$ 到 $xOy$ 面的距离最大，最大值为 $66$。