2021 年考研数学（一） 第 18 题

识别信号：通项是两类结构之和——几何级数 $e^{-nx}$ 与含 $n(n+1)$ 的幂级数，故分别处理再合并。收敛域取两者交集 $(0,1]$。求和函数时，几何级数用求和公式，幂级数则靠 $\frac{1}{n(n+1)}$ 裂项 + 已知展开 $\sum x^n/n=-\ln (1-x)$；端点 $x=1$ 用 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 的裂项求和单独算，从而写成分段和函数。

本题考查函数项级数的收敛域及幂级数和函数的计算。 分别求 $\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-nx}$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 的收敛域，再取交集。记 $s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$。

求收敛域。 记 $s_1(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-nx}$。当 $|e^{-x}|<1$，即 $x>0$ 时，由几何级数求和 $s_1(x)=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac{1}{e^x-1}$，收敛域为 $(0,+\infty )$。

记 $s_2(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，系数 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$，收敛半径为 $1$。在 $x=-1$ 处 $\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}$ 由莱布尼茨定理收敛，在 $x=1$ 处 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛，故 $s_2(x)$ 的收敛域为 $[-1,1]$。

取交集 $(0,+\infty )\cap [-1,1]=(0,1]$，即 $s(x)$ 的收敛域为 $(0,1]$。

求 $s_2(x)$（$x\in (0,1)$）。 由 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
$$s_2(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x^{n+1}}{n}-\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}-\sum _{n=2}^{\infty }\frac{x^n}{n}=(x-1)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}+x.$$
记 $t(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$，逐项求导得 $t^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=\frac{1}{1-x}$，又 $t(0)=0$，故 $t(x)={\int }_0^x\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t=-\ln (1-x)$。因此
$$s_2(x)=(x-1)(-\ln (1-x))+x=(1-x)\ln (1-x)+x,x\in (0,1).$$

当 $x=1$ 时。 $s_2(1)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\underset{k\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=1$，而 $s_1(1)=\frac{1}{e-1}$，故 $s(1)=\frac{1}{e-1}+1=\frac{e}{e-1}$。

综上，$s(x)$ 为分段函数：
$$s(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{e^x-1}+(1-x)\ln (1-x)+x,& x\in (0,1),\\ \frac{e}{e-1},& x=1.\end{array}$$