2021 年考研数学（一） 第 21 题

识别信号：（Ⅰ）实对称矩阵必可正交相似对角化，按“特征值—特征向量—正交化—单位化”标准流程做。（Ⅱ）要构造 ${\mathbf{C}}^2=$ 某矩阵且 $\mathbf{C}$ 正定，关键观察是 $(a+3)\mathbf{E}-\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{A}$ 同特征向量、特征值变为正数 $4,4,1$；把它们开正平方根 $2,2,1$ 得到的 $\mathbf{P}\mathrm{diag}(2,2,1){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$ 自然正定且平方还原。

本题考查实对称矩阵的正交相似对角化及正定矩阵的构造。

（Ⅰ）求特征值。 计算特征多项式
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -a+1)[(\lambda -a{)}^2-(\lambda -a)-2]=(\lambda -a+1{)}^2(\lambda -a-2).$$
故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $a-1,a-1,a+2$。

求特征向量。 对 $\lambda =a-1$，$(a-1)\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得线性无关特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\xi }}_2=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

对 $\lambda =a+2$，解 $[(a+2)\mathbf{E}-\mathbf{A}]\mathbf{x}=0$，得 ${\mathbf{\xi }}_3=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

正交化、单位化。 ${\mathbf{\xi }}_3$ 与 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ 属于不同特征值，已正交，只需将 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ 正交化：
$${\mathbf{\beta }}_1=(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\xi }}_2-\frac{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\xi }}_2)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_1{\Vert }^2}{\mathbf{\beta }}_1=\frac{1}{2}(1,1,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\beta }}_3=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}.$$
单位化得 ${\mathbf{\epsilon }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\epsilon }}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\epsilon }}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

令 $\mathbf{P}=({\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2,{\mathbf{\epsilon }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0& \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$，则 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}a-1& 0& 0\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a+2\end{array}\right)$。

（Ⅱ） 由 (Ⅰ)，$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathrm{diag}(a-1,a-1,a+2){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$，故
$$(a+3)\mathbf{E}-\mathbf{A}=\mathbf{P}[(a+3)\mathbf{E}-\mathrm{diag}(a-1,a-1,a+2)]{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{P}\mathrm{diag}(4,4,1){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}.$$
取 $\mathbf{C}=\mathbf{P}\mathrm{diag}(2,2,1){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$，则 $\mathbf{C}$ 的特征值 $2,2,1$ 均为正，故 $\mathbf{C}$ 正定，且 ${\mathbf{C}}^2=\mathbf{P}\mathrm{diag}(4,4,1){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}=(a+3)\mathbf{E}-\mathbf{A}$。

代入计算得
$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{5}{3}& -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{5}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{5}{3}\end{array}\right).$$