2021 年考研数学（一） 第 22 题

识别信号：几何概型（在 $(0,2)$ 随机取点）+ 一元函数的分布与期望。先把断点设为均匀变量 $W$，则 $X=\min \{W,2-W\}$。（Ⅰ）（Ⅱ）都用分布函数法：先求 $F$ 再求导得密度，其中 $Z$ 是 $X$ 的单调函数。（Ⅲ）求 $E(X/Y)$ 不必先求 $X/Y$ 的分布，用 $X/Y=X/(2-X)$ 直接对 $f_X$ 积分（凑 $-1+\frac{2}{2-x}$）更快。

本题考查随机变量及其函数的分布与数字特征的计算。 设取点位置为 $W$，则 $W$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，$X=\min \{W,2-W\}$。

（Ⅰ） $X$ 为较短一段长度，取值范围 $(0,1]$。记分布函数 $F_X(x)$。当 $0\le x<1$ 时，
$$F_X(x)=P\{X\le x\}=1-P\{W>x,2-W>x\}=1-P\{x<W<2-x\}=1-\frac{(2-x)-x}{2}=x.$$
又 $x<0$ 时 $F_X=0$，$x\ge 1$ 时 $F_X=1$，故 $X\sim U(0,1)$，概率密度
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（Ⅱ） $Z=\frac{Y}{X}=\frac{2-X}{X}=\frac{2}{X}-1$。因 $X\in (0,1]$，故 $Z$ 取值范围为 $[1,+\infty )$。当 $z\ge 1$ 时，
$$F_Z(z)=P\left\{\frac{2}{X}-1\le z\right\}=P\left\{X\ge \frac{2}{z+1}\right\}=1-P\left\{X<\frac{2}{z+1}\right\}=1-\frac{2}{z+1}.$$
（因 $\frac{2}{z+1}\in (0,1]$，$P\{X<\frac{2}{z+1}\}=\frac{2}{z+1}$。）故
$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<1,\\ \frac{2}{(z+1{)}^2},& z\ge 1.\end{array}$$

（Ⅲ） 注意到 $\frac{X}{Y}=\frac{X}{2-X}$，由 $f_X$ 计算
$$E\left(\frac{X}{Y}\right)={\int }_0^1\frac{x}{2-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)\mathrm{d}x=[-x-2\ln (2-x)]{|}_0^1=2\ln 2-1.$$