2020 年考研数学（一） 第 6 题

这题把"解析几何的相交"翻译成"线性代数的相关性"。信号是：直线的方向向量与定点坐标恰好排成三个向量 ${\mathbf{\alpha }}_i$。相交蕴含两件事——方向向量不共线（${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 无关）与两线共面（含定点连线的三向量混合积为 0）。关键一步是把定点连线向量的行列式作行变换，凑出以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 为行的行列式为 0，从而 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 可由已无关的 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 表示。

本题综合考查空间直线的位置关系与向量的线性表示。 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 分别是 $l_1,l_2$ 的方向向量，点 $(a_2,b_2,c_2)$ 在 $l_1$ 上，点 $(a_3,b_3,c_3)$ 在 $l_2$ 上。

两直线相交的推论。 因 $l_1,l_2$ 相交于一点，其方向向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 不共线，即 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关；且两直线共面。

共面条件。 记连接两定点的向量 $\mathbf{\beta }=(a_3-a_2,b_3-b_2,c_3-c_2{)}^{\mathrm{T}}$，它落在 $l_1,l_2$ 所在平面内。三向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\beta }$ 共面，混合积为零：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3-a_2& b_3-b_2& c_3-c_2\end{array}\right|=0.$$
把第二行加到第三行，得 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关。

又 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，故 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性表示。应选 C。