2020 年考研数学（一） 第 5 题

见到"初等列变换化成"，第一反应是把它翻译成矩阵乘法：列变换对应右乘一个可逆矩阵 $Q$，即 $AQ=B$。剩下的只是代数变形——由 $AQ=B$ 得 $A=B{Q}^{-1}$，正好是"$BP=A$"的形式。其余选项要么把右乘错当成左乘，要么误用了"保持 $Ax=0$ 同解"这一行变换独有的性质，用这条界线即可排除。

本题考查矩阵的初等列变换。 对矩阵作初等列变换相当于右乘一个初等矩阵。

推导。 若 $A$ 经初等列变换化成 $B$，则存在初等矩阵 $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_n$，使得 $A{Q}_1{Q}_2\cdots Q_n=B$。记 $Q=Q_1{Q}_2\cdots Q_n$，$Q$ 可逆，且 $AQ=B$，于是 $A=B{Q}^{-1}$。取 $P=Q^{-1}$，则 $BP=A$，B 正确。

说明。 初等列变换是右乘可逆矩阵，一般不能写成左乘的形式，故 A、C 不一定成立；列变换会改变方程组 $Ax=0$ 的解集，故 D 不一定成立。（若换成初等行变换，则 A、C、D 才正确。）

应选 B。