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2020 年考研数学（一）第 4 题

选择题 · 4 分

设

R

为幂级数

n = 1 \sum \infty a_{n} x^{n}

的收敛半径，

r

是实数，则（　　）

A当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时， $∣ r ∣ \geq R$ .
B当 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛时， $∣ r ∣ \leq R$ .
C当 $∣ r ∣ \geq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 发散.
D当 $∣ r ∣ \leq R$ 时， $n = 1 \sum \infty a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛.

提示 1

抓住关键事实：当

∣ r ∣ < R

时

\sum a_{n} r^{n}

绝对收敛，而

\sum a_{2 n} r^{2 n}

只是它的偶数项部分，此时也必收敛。

提示 2

四个选项都在讲"某级数敛散"与"

∣ r ∣

和

R

大小"的关系；把上一条事实取逆否命题，再逐一对照最稳妥。

提示 3

对付其余选项，注意边界

∣ r ∣ = R

处敛散性不确定、且

a_{2 n}

可能恒为 0；用极端系数（如只含奇次项的级数、或

a_{n} \equiv 1

）构造反例即可推翻。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

只要出现"偶次项级数

\sum a_{2 n} r^{2 n}

与收敛半径

R

"，核心武器就是"

∣ r ∣ < R \Rightarrow

绝对收敛

\Rightarrow

任意子级数（含偶数项）收敛"。正确选项恰是这句话的逆否命题。其余选项的破绽都在边界

∣ r ∣ = R

（敛散未定）或在"偶数项可能恒为 0、不反映整体"上，用极端系数举反例最快。

解答

本题考查幂级数的收敛半径。 当

∣ r ∣ < R

时，

\sum a_{n} r^{n}

绝对收敛；而

\sum a_{2 n} r^{2 n}

是

\sum a_{n} r^{n}

的偶数项子级数，故此时

\sum a_{2 n} r^{2 n}

也收敛。

验证 A（用逆否命题）。 由上，若

\sum a_{2 n} r^{2 n}

发散，则

\sum a_{n} r^{n}

不绝对收敛，从而

∣ r ∣ \geq R

。故 A 正确。

排除其余。 取

a_{n} = 1 (n 为奇数)

，

a_{n} = 0 (n 为偶数)

，则

\sum a_{n} x^{n} = \sum x^{2 k - 1}

，收敛半径

R = 1

；而

a_{2 n} = 0

，对任意实数

r

，

\sum a_{2 n} r^{2 n} \equiv 0

收敛，故 C 错，取

∣ r ∣ > 1

又否定 B。再取

a_{n} = 1

，

R = 1

，当

r = 1

（即

∣ r ∣ = R

）时

\sum a_{2 n} r^{2 n} = \sum 1

发散，故 D 错。

应选 A。

考点：幂级数及其收敛域、常数项级数的概念与性质

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