2020 年考研数学（一） 第 3 题

题目给"可微"却问某极限是否存在，几乎一定要回到可微的定义式——它本身就是一个"商趋于 0"的极限。破题关键是发现 $\mathbf{n}\cdot (x,y,f)=f_{x}x+f_{y}y-f$ 恰是定义式分子的相反数，故这一项的极限必为 0、从而存在。叉积、以及仅知与 $\mathbf{n}$ 垂直的 $\mathbf{\alpha }$，都会引入 $x,y$ 的线性组合，其商是 $\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 型、沿不同方向极限不同，用反例即可排除。

本题考查可微的定义。 由 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $f(0,0)=0$，可微的定义给出
$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$

验证 A。 注意 $\mathbf{n}\cdot (x,y,f(x,y))=f_x(0,0)x+f_y(0,0)y-f(x,y)$，于是
$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\mathbf{n}\cdot (x,y,f(x,y))}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,$$
从而 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{|\mathbf{n}\cdot (x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ 存在，A 正确。

排除其余。 取 $f(x,y)=x$，则 $f(0,0)=0$，$\mathbf{n}=(1,0,-1)$，$\mathbf{n}\times (x,y,x)=y\mathbf{i}-2x\mathbf{j}+y\mathbf{k}$，$\frac{|\mathbf{n}\times (x,y,x)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{2+\frac{2x^2}{x^2+y^2}}$，沿 $y=x$ 与 $y=\sqrt{3}x$ 极限不同，B 错。取 $f\equiv 0$，$\mathbf{n}=(0,0,-1)$，$\mathbf{\alpha }=(1,0,0)\perp \mathbf{n}$，则 $\frac{|\mathbf{\alpha }\cdot (x,y,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}$、$\frac{|\mathbf{\alpha }\times (x,y,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 均无极限，C、D 错。

应选 A。