2020 年考研数学（一） 第 2 题

这类"哪个蕴含关系恒成立"的选择题，主线是抓住可导定义 $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}f(x)/x$，把选项中的商都与它挂钩。识别信号在分母的幂次：$\sqrt{|x|}$ 比 $x$ 低阶，故 $\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=\frac{f(x)}{x}\cdot \sqrt{|x|}\to f^{\prime }(0)\cdot 0$ 天然为 0；而反方向、或分母 $x^2$ 更高阶的情形需要更强条件，往往能用反例推翻。会用定义化简、会举反例，是解此题的两把钥匙。

本题考查可导的定义。 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则在 $x=0$ 处连续，由 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ 得 $f(0)=0$，且 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$。

验证 C。 分左右极限：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \sqrt{x}=f^{\prime }(0)\cdot 0=0,$$
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot (-\sqrt{-x})=f^{\prime }(0)\cdot 0=0.$$
故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，C 正确。

排除其余。 取 $f(x)=x^3(x\ne 0)$，$f(0)=1$，则 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 且 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=0$，但 $f$ 在 $x=0$ 处不连续、不可导，故 A、B 均错；取 $f(x)=x$，$f$ 可导，但 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x^2}$ 不存在，故 D 错。

应选 C。