2020 年考研数学（一） 第 1 题

看到"最高阶无穷小"且选项全是变限积分，就应把每个积分定量地化成 $x$ 的幂来比指数大小。关键有两点：被积函数换等价无穷小后积分会使幂次加一；上限若是 $\sin x$、$1-\cos x$ 这类无穷小，必须先化成 $x$ 的幂再代入。把这两处都处理好，四项的阶就一目了然。

本题考查无穷小量阶的比较。 四个选项都是变限积分，阶越高说明趋于零越快。利用被积函数的等价无穷小，把积分与 $x$ 的幂比较即可。

逐项定阶。 当 $t\to 0^{+}$ 时：

（A）${\mathrm{e}}^{t^2}-1\sim t^2$，故 ${\int }_0^x({\mathrm{e}}^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim \frac{x^3}{3}$，是 $x$ 的 3 阶无穷小；
（B）$\ln (1+t^{3/2})\sim t^{3/2}$，故积分 $\sim \frac{2}{5}{x}^{5/2}$，是 $\frac{5}{2}$ 阶；
（C）上限 $\sin x\sim x$，$\sin t^2\sim t^2$，故 ${\int }_0^{\sin x}\sin t^2\mathrm{d}t\sim \frac{(\sin x{)}^3}{3}\sim \frac{x^3}{3}$，是 3 阶；
（D）上限 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，$\sqrt{{\sin }^{3}t}\sim t^{3/2}$，故 ${\int }_0^{1-\cos x}{t}^{3/2}\mathrm{d}t\sim \frac{2}{5}(1-\cos x{)}^{5/2}\sim \frac{2}{5}(\frac{x^2}{2}{)}^{5/2}$，是 5 阶。

阶数最高（趋于零最快）的是（D）。应选 D。