2020 年考研数学（一） 第 7 题

"恰有一个"这类计数型概率，直接分类讨论容易乱，最稳的套路是"恰有一个 = 至少一个 − 至少两个"，两块都能用容斥公式算。突破口是先由 $P(AB)=0$ 推出 $P(ABC)=0$（因 $ABC\subset AB$），这把所有含 $P(ABC)$ 的项清零，两个容斥公式立刻变简单。

本题考查随机事件的概率计算。 由 $P(AB)=0$ 及 $ABC\subset AB$ 得 $P(ABC)=0$。

至少发生一个。 由三事件加法公式
$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=\frac{3}{4}-0-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+0=\frac{7}{12}.$$

至少发生两个。
$$P(AB\cup BC\cup CA)=P(AB)+P(BC)+P(CA)-2P(ABC)+P(ABC)=0+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-0=\frac{1}{6}.$$

恰有一个 = 至少一个 − 至少两个： $p=\frac{7}{12}-\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$。应选 D。