2020 年考研数学（一） 第 8 题

题面直接点了"利用中心极限定理"，且是 100 个同分布变量之和的概率，套路固定：先求单变量 $E(X)=\frac{1}{2},D(X)=\frac{1}{4}$，则和近似正态 $N(50,25)$。关键只在标准化——把 $\sum X_i\le 55$ 化成 $\frac{\sum X_i-50}{5}\le 1$；因为是"$\le$ 一个正分位点"，结果自然是 $\Phi (1)$ 而不是 $1-\Phi$。

本题考查中心极限定理。 先求总体的数字特征：$E(X)=0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$E(X^2)=\frac{1}{2}$，$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。

应用中心极限定理。 $n=100$，由列维–林德伯格中心极限定理，$\sum _{i=1}^{100}{X}_i$ 近似服从 $N\left(100\cdot \frac{1}{2},100\cdot \frac{1}{4}\right)=N(50,25)$，即 $\frac{{\sum }_{i=1}^{100}{X}_i-50}{5}$ 近似服从 $N(0,1)$。

故
$$P\left\{\sum _{i=1}^{100}{X}_i\le 55\right\}=P\left\{\frac{{\sum }_{i=1}^{100}{X}_i-50}{5}\le \frac{55-50}{5}\right\}\approx \Phi (1).$$
应选 B。