2020 年考研数学（一） 第 9 题

看到两个分式相减且各自趋于 $\infty$，标准动作是通分转成 $\frac{0}{0}$。通分后先用等价无穷小把分母定成 $x^2$，这一步同时确定了分子需要的展开精度——只到 $x^2$。于是对 $\ln (1+x)$、${\mathrm{e}}^x$ 各展到二阶相减，一次项抵消、剩 $-x^2$，极限即 $-1$。选泰勒而非洛必达，是因为分子分母都要两次求导太繁，展开更干净。

本题考查极限的计算。 所求为 $\infty -\infty$ 型，先通分化为 $\frac{0}{0}$ 型：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-({\mathrm{e}}^x-1)}{({\mathrm{e}}^x-1)\ln (1+x)}.$$

分母 $({\mathrm{e}}^x-1)\ln (1+x)\sim x\cdot x=x^2$，故原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-{\mathrm{e}}^x+1}{x^2}$。

用泰勒公式：$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，分子 $=(x-\frac{x^2}{2})-(1+x+\frac{x^2}{2})+1+o(x^2)=-x^2+o(x^2)$。

故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1$。填 $-1$。