2020 年考研数学（一） 第 10 题

参数方程的二阶导有固定公式 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}$，最容易错在"把 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ 对 $t$ 求导后忘了再除以 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$"。本题的巧处是先算一阶导会化简成 $\frac{1}{t}$，后面求导就非常干净，所以务必先把一阶导化到最简再往下走。

本题考查由参数方程确定的函数的二阶导数。 先求一阶导：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}$，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$，故
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{1/\sqrt{t^2+1}}{t/\sqrt{t^2+1}}=\frac{1}{t}.$$

再求二阶导：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{t}\right)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{-1/t^2}{t/\sqrt{t^2+1}}=-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}.$$

代入 $t=1$ 得 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=1}=-\sqrt{2}$。填 $-\sqrt{2}$。