2020 年考研数学（一） 第 11 题

求 ${\int }_0^{+\infty }f$ 而 $f$ 满足二阶常系数方程，聪明的走法不是解方程再积分，而是反过来用方程把 $f$ 写成 $-(f^{\prime \prime }+a{f}^{\prime })$——它恰是某函数的导数，积分立刻可用牛顿–莱布尼茨完成。能这么做的前提是 $a>0$ 保证解衰减，故 $f(+\infty )=f^{\prime }(+\infty )=0$，边界项只剩初值，答案 $n+am$ 就出来了。

本题综合考查二阶常系数齐次线性微分方程与反常积分。 特征方程为 $r^2+ar+1=0$。因 $a>0$，无论根为两负实根、二重负根还是实部为负的共轭复根，都有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$。

由原方程 $f(x)=-f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)$，于是
$${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }[-f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)]\mathrm{d}x=[-f^{\prime }(x)-af(x)]{|}_0^{+\infty }.$$

代入极限：$=\underset{x\to +\infty }{\lim }[-f^{\prime }(x)-af(x)]-[-f^{\prime }(0)-af(0)]=0-(-n-am)=n+am$。填 $n+am$。