2020 年考研数学（一） 第 12 题

被积函数含参数 $x$、上限又含 $x,y$，若先对 $x$ 求导要用含参量积分的莱布尼茨公式，较繁。取巧点在"先对 $y$ 求导"：$y$ 只出现在上限，一步变限积分求导就消掉积分号，得到干净的初等函数，再对 $x$ 用乘积法则即可。混合偏导连续保证了求导次序可换，这正是"挑容易的那一步先做"的思路。

本题考查二元函数混合偏导数的计算。 $f$ 的二阶偏导连续，可交换求导次序。先对 $y$ 求偏导（上限为 $xy$，由变限积分求导公式）：
$$\frac{\partial f}{\partial y}={\mathrm{e}}^{x(xy{)}^2}\cdot x=x{\mathrm{e}}^{x^3{y}^2}.$$

再对 $x$ 求偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}={\mathrm{e}}^{x^3{y}^2}+x\cdot {\mathrm{e}}^{x^3{y}^2}\cdot 3x^2{y}^2=(3x^3{y}^2+1){\mathrm{e}}^{x^3{y}^2}.$$

故 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}{|}_{(1,1)}=(3+1)\mathrm{e}=4\mathrm{e}$。填 $4\mathrm{e}$。