2020 年考研数学（一） 第 13 题

行列式每一行元素之和都等于 $a$，这是"把所有列加到第一列"技巧的经典信号——加完后第一列成为常数列 $a$，可提公因子并借它把第一列化成一堆 1，再作行减法制造零、降阶。识别"行（或列）和相等"这个特征，是快速求这类行列式的关键。

本题考查行列式的计算。 观察到该行列式每一行元素之和都为 $a$，故把第 2、3、4 列都加到第 1 列，再提出公因子 $a$：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& -1& 1\\ 0& a& 1& -1\\ -1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 1& a& 1& -1\\ 1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|.$$

再作行变换 $r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1$，然后按第 1 列展开：
$$D=a\left|\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& a& 2& -2\\ 0& 1& a+1& -1\\ 0& -1& 1& a-1\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{ccc}a& 2& -2\\ 1& a+1& -1\\ -1& 1& a-1\end{array}\right|.$$

展开三阶行列式得 $a^3-4a$，故 $D=a(a^3-4a)=a^4-4a^2$。填 $a^4-4a^2$。