2020 年考研数学（一） 第 14 题

求 $\mathrm{Cov}$ 先套定义 $E(XY)-E(X)E(Y)$，本题的省力点全在对称性：$X$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 上均匀，密度是偶的、$x$ 是奇的，故 $E(X)=0$，交叉项 $E(X)E(Y)$ 直接消失。剩下的 $E(X\sin X)$ 里 $x\sin x$ 为偶函数，可折半区间，再一步分部积分即得。抓住"对称区间 + 奇偶性"能省掉大量计算。

本题考查协方差的计算。 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。$X$ 的密度为 $f(x)=\frac{1}{\pi }(x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}))$，其余为 $0$。由奇函数积分知 $E(X)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}x\mathrm{d}x=0$。

于是
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X\sin X)-E(X)E(\sin X)=E(X\sin X)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}x\sin x\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}x\sin x\mathrm{d}x,$$
其中利用了 $x\sin x$ 为偶函数。

分部积分：${\int }_0^{\pi /2}x\sin x\mathrm{d}x=[-x\cos x{]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\cos x\mathrm{d}x=0+1=1$。故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{2}{\pi }$。填 $\frac{2}{\pi }$。