2020 年考研数学（一） 第 15 题

二元无条件极值是套路题，识别后按"求驻点 → 算二阶偏导 → 用 $AC-B^2$ 判别"三步走。本题关键计算是解驻点时把 $y=3x^2$ 回代得到 $216x^4-x=0$，注意 $x=0$ 也是根；两个驻点里 $(0,0)$ 因 $AC-B^2<0$ 是鞍点须排除，真正的极小值在另一个驻点取得。

本题考查二元函数的无条件极值，直接用极值的充分条件求解。

① 求驻点。 令
$$\{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)=3x^2-y=0,\\ f_y(x,y)=24y^2-x=0.\end{array}$$
由第一式 $y=3x^2$ 代入第二式：$24(3x^2{)}^2-x=216x^4-x=0$，即 $x(216x^3-1)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{6}$。于是驻点为 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$。

② 求二阶偏导。 $f_{xx}=6x,f_{xy}=-1,f_{yy}=48y.$

③ 判别。 在 $(0,0)$：$A=0,B=-1,C=0$，$AC-B^2=-1<0$，故 $(0,0)$ 不是极值点。
在 $\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)$：$A=1,B=-1,C=4$，$AC-B^2=3>0$ 且 $A>0$，故为极小值点。

极小值： $f\left(\frac{1}{6},\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{6^3}+\frac{8}{12^3}-\frac{1}{6\times 12}=\frac{1}{216}+\frac{1}{216}-\frac{3}{216}=-\frac{1}{216}$。