2020 年考研数学（一） 第 16 题

分母 $4x^2+y^2$ 在原点处为奇点、而 $L$ 恰好把它围在内部，且 $P_y=Q_x$ 处处（除原点）相等——这三点合起来是"挖洞法"的典型标志。挖洞时特意选椭圆 $4x^2+y^2={\epsilon }^2$ 而非圆，是为了让分母化成常数 ${\epsilon }^2$ 提到积分号外；剩下的 $\oint (4x-y)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y$ 再用格林公式配椭圆面积即可，$\epsilon$ 最终约去。

本题考查第二类曲线积分（挖洞法 + 格林公式）。 记 $P=\frac{4x-y}{4x^2+y^2}$，$Q=\frac{x+y}{4x^2+y^2}$。当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时，可验证
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-4x^2-8xy}{(4x^2+y^2{)}^2}.$$
但原点 $(0,0)$ 是被积函数的奇点，且含于 $L$ 所围区域内，不能直接用格林公式。

挖洞。 作辅助椭圆 $L^{\prime }:4x^2+y^2={\epsilon }^2$（$\epsilon$ 充分小，取逆时针），设其所围区域为 $D^{\prime }$。在 $L$ 与 $L^{\prime }$ 之间的区域上被积函数无奇点，由格林公式 ${\oint }_{L+L^{\prime -}}=0$，故 $I={\oint }_{L^{\prime }}$。

在 $L^{\prime }$ 上计算。 此时 $4x^2+y^2={\epsilon }^2$，于是
$$I={\oint }_{L^{\prime }}\frac{4x-y}{4x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x+y}{4x^2+y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{{\epsilon }^2}{\oint }_{L^{\prime }}(4x-y)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y.$$
对后者用格林公式（$L^{\prime }$ 内无奇点）：$=\frac{1}{{\epsilon }^2}{\iint }_{D^{\prime }}[1-(-1)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{2}{{\epsilon }^2}{\iint }_{D^{\prime }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

$D^{\prime }$ 是椭圆 $\frac{x^2}{(\epsilon /2{)}^2}+\frac{y^2}{{\epsilon }^2}\le 1$，面积为 $\pi \cdot \frac{\epsilon }{2}\cdot \epsilon =\frac{\pi {\epsilon }^2}{2}$。故 $I=\frac{2}{{\epsilon }^2}\cdot \frac{\pi {\epsilon }^2}{2}=\pi$。