2020 年考研数学（一） 第 17 题

系数带递推关系的幂级数求和，套路是"变系数递推 → 微分方程"。逐项求导会把下标从 $a_{n+1}$ 拉回 $a_n$，正好与递推式的形状吻合，使 $\sum (n+\frac{1}{2})a_n{x}^n$ 拆成 $x{S}^{\prime }+\frac{1}{2}S$，于是得到关于 $S$ 的一阶线性 ODE——无穷级数问题就转化成可解的微分方程。最后用 $S(0)=0$（级数从 $n=1$ 起、无常数项）定常数。

本题综合考查幂级数与微分方程。 先定收敛半径，再由系数递推构造微分方程求和函数。

收敛半径。 由 $(n+1)a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right)a_n$ 得 $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n+\frac{1}{2}}$，故
$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n+\frac{1}{2}}=1.$$
因此当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 收敛。

求和函数。 设 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n(x\in (-1,1))$。逐项求导：
$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n=1+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)a_{n+1}{x}^n.$$
代入递推 $(n+1)a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right)a_n$：
$$S^{\prime }(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(n+\frac{1}{2}\right)a_n{x}^n=1+x\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=1+x{S}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}S(x).$$

解微分方程。 由上式，$(1-x)S^{\prime }(x)-\frac{1}{2}S(x)=1$，即 $S^{\prime }(x)-\frac{1}{2(1-x)}S(x)=\frac{1}{1-x}$，这是一阶线性微分方程。由通解公式（注意 $x\in (-1,1)$，$1-x>0$）：
$$S(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\left(\int \frac{1}{1-x}\cdot \sqrt{1-x}\mathrm{d}x+C\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\left(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x}}+C\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\left(-2\sqrt{1-x}+C\right)=\frac{C}{\sqrt{1-x}}-2.$$

定常数。 由 $S(0)=0$ 得 $C-2=0$，$C=2$。故和函数为
$$S(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2,x\in (-1,1).$$