2020 年考研数学（一） 第 18 题

被积函数带着未知的 $f(xy)$，说明它一定要被"消掉"，突破口是曲面方程 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（即 $z^2=x^2+y^2$）。把三个坐标面投影统一到 $xOy$ 面后，含 $f$ 的系数正好凑成 $-\frac{x^2+y^2}{z}+z=0$，抽象函数自然消失；这也是出题人把 $x,y,z$ 前系数设成 $x,y,z$ 的用意。余下 $-z$ 的积分是常规圆环上的极坐标计算。

本题考查第二类曲面积分（利用两类曲面积分的联系消去抽象函数 $f$）。 $\Sigma$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 的一段，取下侧，法向量与 $z$ 轴正向成钝角。取 $F=\sqrt{x^2+y^2}-z$，可得曲面法向量与 $\left(\frac{x}{z},\frac{y}{z},-1\right)$ 同向，于是 $\frac{\cos \alpha }{\cos \gamma }=-\frac{x}{z}$，$\frac{\cos \beta }{\cos \gamma }=-\frac{y}{z}$。

投影到 $xOy$ 面。 利用两类曲面积分的联系，把对 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$、$\mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 的积分都化到 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$：
$$I={\iint }_{\Sigma }\left\{[xf(xy)+2x-y](-\frac{x}{z})+[yf(xy)+2y+x](-\frac{y}{z})+[zf(xy)+z]\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

含 $f(xy)$ 的项相消。 由于 $z^2=x^2+y^2$，
$$f(xy)\left(-\frac{x^2}{z}-\frac{y^2}{z}+z\right)=f(xy)\left(-\frac{x^2+y^2}{z}+z\right)=0.$$
其余项： $(2x-y)(-\frac{x}{z})+(2y+x)(-\frac{y}{z})+z=-\frac{2x^2+2y^2}{z}+z=-2z+z=-z.$

故 $I={\iint }_{\Sigma }(-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。因 $\Sigma$ 取下侧，${\iint }_{\Sigma }(-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中投影区域 $D:1\le x^2+y^2\le 4$ 为圆环。

极坐标计算：
$${\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_1^{2}r\cdot r\mathrm{d}r=2\pi \cdot \frac{r^3}{3}{|}_1^2=2\pi \cdot \frac{7}{3}=\frac{14\pi }{3}.$$
故 $I=\frac{14\pi }{3}$。