2020 年考研数学（一） 第 21 题

"$\mathbf{\alpha }$ 不是特征向量"这句话是（Ⅰ）的钥匙——它等价于 $A\mathbf{\alpha }$ 不与 $\mathbf{\alpha }$ 平行，即两者线性无关，故 $P$ 可逆。（Ⅱ）的核心手法是"用 $AP$ 求 $A$ 在基 $\{\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha }\}$ 下的矩阵"：把 $A^2\mathbf{\alpha }$ 由已知关系线性表示回 $\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha }$，其系数排出的正是 $P^{-1}AP$。它与 $A$ 相似，只要特征值互异就能判定 $A$ 可对角化。

本题综合考查可逆矩阵与相似。

（Ⅰ） 要证 $P=(\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha })$ 可逆，只需证 $\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha }$ 线性无关。设 $k_1\mathbf{\alpha }+k_{2}A\mathbf{\alpha }=0$。
若 $k_2=0$，则 $k_1\mathbf{\alpha }=0$，因 $\mathbf{\alpha }\ne 0$ 得 $k_1=0$；
若 $k_2\ne 0$，则 $A\mathbf{\alpha }=-\frac{k_1}{k_2}\mathbf{\alpha }$，即 $\mathbf{\alpha }$ 是 $A$ 的特征向量，与题设矛盾。
故 $k_1=k_2=0$，$\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha }$ 线性无关，$P$ 可逆。

（Ⅱ） $AP=(A\mathbf{\alpha },A^2\mathbf{\alpha })$。由 $A^2\mathbf{\alpha }=6\mathbf{\alpha }-A\mathbf{\alpha }$，得
$$AP=(A\mathbf{\alpha },6\mathbf{\alpha }-A\mathbf{\alpha })=(\mathbf{\alpha },A\mathbf{\alpha })\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right).$$
两端左乘 $P^{-1}$，得 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$。

判断相似对角化。 记 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& -1\end{array}\right)$，则 $A\sim B$。计算特征多项式
$$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -6\\ -1& \lambda +1\end{array}\right|={\lambda }^2+\lambda -6=(\lambda -2)(\lambda +3),$$
特征值 $2,-3$ 互异，故 $B$ 可对角化，$B\sim \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$。由相似的传递性，$A$ 相似于对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$。