2020 年考研数学（一） 第 22 题

$Y=X_3{X}_1+(1-X_3)X_2$ 里 $X_3$ 是 0-1 开关，见到这种"离散变量当开关"的结构，标准做法是按它的取值做全概率分解，把混合问题拆成两个纯正态情形。$X_3=1$ 那支会出现 $\{X_1\le x,X_1\le y\}$，必须按 $x,y$ 大小取 $\min$ 分段，这是本题唯一的技术点。第二问只需对分布函数令 $x\to +\infty$ 取边缘，$\frac{1}{2}\Phi (y)\cdot 2=\Phi (y)$，即证 $Y$ 标准正态。

本题考查二维随机变量及其函数的分布。

（Ⅰ） 设 $(X_1,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y)$。按 $X_3$ 的取值分解，并利用独立性：
$$F(x,y)=P\{X_1\le x,Y\le y\}=P\{X_1\le x,X_2\le y,X_3=0\}+P\{X_1\le x,X_1\le y,X_3=1\}$$
$$=\frac{1}{2}P\{X_1\le x\}P\{X_2\le y\}+\frac{1}{2}P\{X_1\le x,X_1\le y\}=\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y)+\frac{1}{2}P\{X_1\le x,X_1\le y\}.$$

分情况讨论：当 $x\le y$ 时 $P\{X_1\le x,X_1\le y\}=P\{X_1\le x\}=\Phi (x)$，故 $F(x,y)=\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y)+\frac{1}{2}\Phi (x)=\frac{1}{2}\Phi (x)[\Phi (y)+1]$；当 $x>y$ 时 $P\{X_1\le x,X_1\le y\}=P\{X_1\le y\}=\Phi (y)$，故 $F(x,y)=\frac{1}{2}\Phi (y)[\Phi (x)+1]$。于是
$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\Phi (x)[\Phi (y)+1],& x\le y,\\ \frac{1}{2}\Phi (y)[\Phi (x)+1],& x>y.\end{array}$$

（Ⅱ） $Y$ 的分布函数为 $(X_1,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘分布函数，令 $x\to +\infty$（此时属 $x>y$ 情形）：
$$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=\frac{1}{2}\Phi (y)[\Phi (+\infty )+1]=\frac{1}{2}\Phi (y)\cdot 2=\Phi (y).$$
即 $Y$ 的分布函数恰为标准正态分布函数，故 $Y$ 服从标准正态分布。