2020 年考研数学（一） 第 23 题

（Ⅰ）是可靠度与条件概率的直接套用，值得注意的是该分布（威布尔）不具指数分布的"无记忆性"，故 $P\{T>s+t\mid T>s\}$ 不能简单等于 $P\{T>t\}$，得老实按定义算。（Ⅱ）是最大似然的模板题：密度 → 似然 → 取对数 → 求导置零。取对数是因为 $L$ 是连乘、指数繁多，取对数后连乘变连加、指数落下来，求导解方程就轻松，得 $\hat{\theta }=\sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum t_i^m}$。

本题考查概率计算与最大似然估计。

（Ⅰ） 对 $t>0$，$P\{T>t\}=1-P\{T\le t\}=1-F(t)={\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{t}{\theta }\right)}^m}$。由条件概率定义，
$$P\{T>s+t\mid T>s\}=\frac{P\{T>s+t\}}{P\{T>s\}}=\frac{{\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{s+t}{\theta }\right)}^m}}{{\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{s}{\theta }\right)}^m}}={\mathrm{e}}^{\frac{s^m-(s+t{)}^m}{{\theta }^m}}.$$
（注：该分布为威布尔分布，不具有指数分布的“无记忆性”，故不能直接令其等于 $P\{T>t\}$。）

（Ⅱ） 概率密度为 $f(t;\theta )=F^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{m{t}^{m-1}}{{\theta }^m}{\mathrm{e}}^{-{\left(\frac{t}{\theta }\right)}^m},& t>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

似然函数（$t_i>0$）：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(t_i;\theta )=(t_1{t}_2\cdots t_n{)}^{m-1}{\left(\frac{m}{{\theta }^m}\right)}^n{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{{\theta }^m}{\sum }_{i=1}^n{t}_i^m}.$$
取对数：$\ln L(\theta )=(m-1)\ln (t_1{t}_2\cdots t_n)+n(\ln m-m\ln \theta )-\frac{1}{{\theta }^m}\sum _{i=1}^n{t}_i^m$。

令 $\frac{\mathrm{d}\ln L(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{mn}{\theta }+\frac{m}{{\theta }^{m+1}}{\sum }_{i=1}^n{t}_i^m=0$，得 $mn{\theta }^m=m\sum _{i=1}^n{t}_i^m$，即 ${\theta }^m=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{t}_i^m$。故 $\theta$ 的最大似然估计值为
$$\hat{\theta }=\sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{t}_i^m}.$$