2020 年考研数学（一） 第 20 题

题眼是"正交变换"——它同时是相似变换，故 $A\sim B$，于是（Ⅰ）不必真去对角化，直接用相似不变量迹与行列式列两个方程，加 $a\ge b$ 定出 $a,b$。（Ⅱ）求 $Q$ 的思路是"两头对角化再对接"：把 $A$、$B$ 各自对角化到同一个 $\Lambda$，由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 解出 $Q=P_1{P}_2^{-1}$。因两组特征向量都可取成正交等长向量，拼出的 $Q$ 是正交矩阵（末了验证一下即可）。

本题考查正交变换与正交相似对角化。

（Ⅰ） 二次型 $f$ 的矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)$，$g$ 的矩阵 $B=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 2& b\end{array}\right)$。正交变换也是相似变换，故 $A\sim B$。相似矩阵有相同的迹与行列式：
$$\{\begin{array}{l}a+b=\mathrm{tr}A=1+4=5,\\ ab-4=\det A=1\cdot 4-(-2{)}^2=0,\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a+b=5,\\ ab=4.\end{array}$$
结合 $a\ge b$，解得 $a=4,b=1$。

（Ⅱ） 此时 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$。由 $|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -5)$ 知 $A,B$ 的特征值都是 $5$ 和 $0$。

对角化 $A$。 $\lambda =5$：$5E-A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，特征向量 ${\xi }_1=(-1,2{)}^{\mathrm{T}}$；$\lambda =0$：$-A\to \left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$，特征向量 ${\xi }_2=(2,1{)}^{\mathrm{T}}$。取 $P_1=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$，则 $P_1^{-1}A{P}_1=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

对角化 $B$。 $\lambda =5$：$5E-B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right)$，特征向量 ${\eta }_1=(2,1{)}^{\mathrm{T}}$；$\lambda =0$：$-B\to \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，特征向量 ${\eta }_2=(-1,2{)}^{\mathrm{T}}$。取 $P_2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$，则 $P_2^{-1}B{P}_2=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$。

求 $Q$。 由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 得 $B=P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}$，取 $Q=P_1{P}_2^{-1}$，则 $Q^{-1}AQ=B$。因 $P_2^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$，
$$Q=P_1{P}_2^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{4}{5}& \frac{3}{5}\\ \frac{3}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right).$$
验证 $Q$ 已是正交矩阵，故所求 $Q=\left(\begin{array}{cc}-\frac{4}{5}& \frac{3}{5}\\ \frac{3}{5}& \frac{4}{5}\end{array}\right)$。