2019 年考研数学（一） 第 21 题

相似的必要条件（同迹、同行列式）给出关于 $x,y$ 的两个方程，先定参数。构造 $P$ 时不直接硬解，而是让 $A,B$ 都相似于同一个对角阵 $\Lambda$：各自求特征向量得 $P_1,P_2$，再由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 消去 $\Lambda$，得到桥梁 $P=P_1{P}_2^{-1}$。这是“经由对角化搭桥”的标准套路。

本题考查相似矩阵的性质（同迹、同行列式）以及通过对角化构造相似变换矩阵。

（Ⅰ）求 $x,y$。 因为 $A\sim B$，所以迹相等 $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B$，即 $x-4=y+1$，得 $y=x-5$。又行列式相等 $|A|=|B|$，$A$ 按第三行展开得 $|A|=-2(-2x+4)$，而 $|B|=-2y$，即 $-2(-2x+4)=-2y$，化简为 $y=-2x+4$。联立解得 $x=3,y=-2$。

（Ⅱ）求 $P$。 此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$，二者特征值同为 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=2$。分别将 $A,B$ 对角化。

求 $A$ 的特征向量。 由 $2E+A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{4}\\ 0& 1& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得 $\lambda =-2$ 的特征向量 ${\alpha }_1=(-1,2,4{)}^{\mathrm{T}}$；由 $E+A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得 $\lambda =-1$ 的特征向量 ${\alpha }_2=(-2,1,0{)}^{\mathrm{T}}$；由 $2E-A\to \left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得 $\lambda =2$ 的特征向量 ${\alpha }_3=(-1,2,0{)}^{\mathrm{T}}$。令 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 2& 1& 2\\ 4& 0& 0\end{array}\right)$，则 $P_1^{-1}A{P}_1=\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。

求 $B$ 的特征向量。 由 $2E+B$ 得 $\lambda =-2$ 的特征向量 ${\beta }_1=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；由 $E+B$ 得 $\lambda =-1$ 的特征向量 ${\beta }_2=(-1,3,0{)}^{\mathrm{T}}$；由 $2E-B$ 得 $\lambda =2$ 的特征向量 ${\beta }_3=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$。令 $P_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$，则 $P_2^{-1}B{P}_2=\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。

构造 $P$。 由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 得 $(P_1{P}_2^{-1}{)}^{-1}A(P_1{P}_2^{-1})=B$，故
$$P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 2& 1& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$$