2019 年考研数学（一） 第 20 题

“在基下的坐标”翻译成向量等式 $b{\alpha }_1+c{\alpha }_2+{\alpha }_3=\beta$，按分量就是三元线性方程组，解出参数。是否成基用行列式非零判定最快。求过渡矩阵的关键是摆正方向：由旧到新的定义式 $(\text{旧})=(\text{新})Q$ 决定了 $Q=(\text{新}{)}^{-1}(\text{旧})$，代入求逆相乘即可。

本题考查向量在基下的坐标、基的判定以及过渡矩阵的计算。

（Ⅰ）求 $a,b,c$。 由 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的坐标为 $(b,c,1{)}^{\mathrm{T}}$ 得 $b{\alpha }_1+c{\alpha }_2+{\alpha }_3=\beta$，即
$$\{\begin{array}{l}b+c+1=1,\\ 2b+3c+a=1,\\ b+2c+3=1.\end{array}$$
由第一、三式得 $b+c=0$ 与 $b+2c=-2$，解得 $c=-2,b=2$，代入第二式得 $a=1-2b-3c=1-4+6=3$。故 $a=3,b=2,c=-2$。

（Ⅱ）证明 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 为一个基。 此时 ${\alpha }_2=(1,3,2{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_3=(1,3,3{)}^{\mathrm{T}},\beta =(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，
$$|{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta |=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 3& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& -2\\ 0& 1& -1\end{array}\right|=2\ne 0,$$
所以 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 线性无关，构成 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个基。

求过渡矩阵。 设由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 到 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的过渡矩阵为 $Q$，即 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )Q$，于是 $Q=({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta {)}^{-1}({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。经初等行变换求得
$$({\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta {)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right).$$

又 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$，故
$$Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& 1\\ \frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right).$$