2019 年考研数学（一） 第 19 题

形心问题先看对称性省掉一个坐标——关于 $yOz$ 面对称给出 $\bar{x}=0$。立体是“随高度移动的圆盘”，用截面法把三重积分降为对 $z$ 的一元积分最省事。求 $\bar{y}$ 的巧点在于圆心不在 $y=0$ 而在 $y=z$，作平移 $u=y-z$ 让圆盘关于原点对称，奇函数 $u$ 积分为零，于是 $\bar{y}$ 与 $\bar{z}$ 算得相同的值。

本题考查三重积分求空间立体的形心坐标。 设形心坐标为 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$。由 $\Omega$ 关于 $yOz$ 平面对称，$\bar{x}=0$。

体积。 用先二后一（截面法），在高度 $z$ 处截面为圆盘 $x^2+(y-z{)}^2\le (1-z{)}^2$，半径 $1-z$，面积 $\pi (1-z{)}^2$，故
$$V={\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int }_0^1\pi (1-z{)}^2\mathrm{d}z=\frac{\pi }{3}.$$

求 $\bar{y}$。 在截面上作平移 $u=y-z$，圆盘变为 $x^2+u^2\le (1-z{)}^2$（关于原点对称），故
$${\iint }_{x^2+(y-z{)}^2\le (1-z{)}^2}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{x^2+u^2\le (1-z{)}^2}(u+z)\mathrm{d}x\mathrm{d}u={\iint }_{x^2+u^2\le (1-z{)}^2}z\mathrm{d}x\mathrm{d}u=\pi z(1-z{)}^2.$$
于是
$${\iiint }_{\Omega }y\mathrm{d}V=\pi {\int }_0^{1}z(1-z{)}^2\mathrm{d}z=\frac{\pi }{12},\bar{y}=\frac{\pi /12}{\pi /3}=\frac{1}{4}.$$

求 $\bar{z}$。
$${\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}V={\int }_0^{1}z\cdot \pi (1-z{)}^2\mathrm{d}z=\frac{\pi }{12},\bar{z}=\frac{\pi /12}{\pi /3}=\frac{1}{4}.$$

故 $\Omega$ 的形心坐标为 $\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$。