2019 年考研数学（一） 第 22 题

$Y$ 只取 $\pm 1$，是离散的“开关”，所以求 $Z=XY$ 的分布自然按 $Y$ 的取值用全概率公式分类讨论。第（Ⅱ）问 $\mathrm{Cov}(X,XY)$ 借 $X,Y$ 独立拆成 $E(X^2)E(Y)-[E(X){]}^{2}E(Y)=D(X)E(Y)$，只需 $E(Y)=0$ 即 $p=\frac{1}{2}$。第（Ⅲ）问的用意是提醒“不相关不等于独立”，取特殊点算联合分布函数举反例即可。

本题考查全概率公式求随机变量函数的分布、协方差与不相关，以及独立性的判定。 因为 $X\sim E(1)$，其分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$

（Ⅰ）$Z$ 的概率密度。 由全概率公式
$$F_Z(z)=P\{XY\le z\}=pP\{-X\le z\}+(1-p)P\{X\le z\}=p[1-F(-z)]+(1-p)F(z).$$
当 $z<0$ 时 $F_Z(z)=p{e}^z$；当 $z\ge 0$ 时 $F_Z(z)=p+(1-p)(1-e^{-z})$。求导得
$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}p{e}^z,& z<0,\\ (1-p)e^{-z},& z\ge 0.\end{array}$$

（Ⅱ）不相关。
$$\mathrm{Cov}(X,Z)=\mathrm{Cov}(X,XY)=E(X^{2}Y)-E(X)E(XY)=E(X^2)E(Y)-[E(X){]}^{2}E(Y)=D(X)E(Y).$$
因 $X\sim E(1)$，$E(X)=1,D(X)=1$；又 $E(Y)=(-1)p+(1-p)=1-2p$。故 $\mathrm{Cov}(X,Z)=1-2p$。$X$ 与 $Z$ 不相关的充要条件是 $\mathrm{Cov}(X,Z)=0$，故当 $p=\frac{1}{2}$ 时 $X$ 与 $Z$ 不相关。

（Ⅲ）独立性（取 $p=\frac{1}{2}$）。 设 $F(x,z)$ 为 $(X,Z)$ 的联合分布函数。
$$F(1,1)=P\{X\le 1,XY\le 1\}=\frac{1}{2}P\{X\le 1,-X\le 1\}+\frac{1}{2}P\{X\le 1\}=\frac{1}{2}P\{-1\le X\le 1\}+\frac{1}{2}P\{X\le 1\}=P\{X\le 1\}=1-\frac{1}{e}.$$
又 $F_X(1)=P\{X\le 1\}=1-\frac{1}{e}$，$F_Z(1)=\frac{1}{2}P\{X\ge -1\}+\frac{1}{2}P\{X\le 1\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right)=1-\frac{1}{2e}$。

因为 $F(1,1)=1-\frac{1}{e}\ne F_X(1)\cdot F_Z(1)=\left(1-\frac{1}{e}\right)\left(1-\frac{1}{2e}\right)$，所以 $X$ 与 $Z$ 不相互独立。这说明不相关不能推出相互独立。