2019 年考研数学（一） 第 23 题

常数 $A$ 由“密度积分为 $1$”确定，换元 $t=\frac{x-\mu }{\sigma }$ 后被积函数正是标准正态密度，利用其半轴积分为 $\frac{1}{2}$ 立得 $A$。求 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计时把 ${\sigma }^2$ 视为单个参数更省事：写对数似然 $\ln L({\sigma }^2)$，对 ${\sigma }^2$ 求导解驻点，得到 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\mu {)}^2$。

本题考查由概率密度归一性确定常数，以及最大似然估计。

（Ⅰ）求 $A$。 由 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$，令 $t=\frac{x-\mu }{\sigma }$，
$$1={\int }_{\mu }^{+\infty }\frac{A}{\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}x=A{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\sqrt{2\pi }A{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}A,$$
其中用到标准正态密度在 $(0,+\infty )$ 上积分为 $\frac{1}{2}$。解得 $A=\sqrt{\frac{2}{\pi }}$。

（Ⅱ）${\sigma }^2$ 的最大似然估计。 似然函数（当所有 $x_i\ge \mu$ 时）
$$L({\sigma }^2)=\frac{A^n}{({\sigma }^2{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2},$$
取对数
$$\ln L({\sigma }^2)=n\ln A-\frac{n}{2}\ln {\sigma }^2-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2.$$

对 ${\sigma }^2$ 求导并令其为零：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }^2}\ln L({\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\cdot \frac{1}{{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2=0,$$
解得 ${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$。故 ${\sigma }^2$ 的最大似然估计量为
$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2.$$