2017 年考研数学（一） 第 6 题

相似的必要条件是特征值相同，而这里三者特征值都是 $2,2,1$，所以不能只看特征值。$\mathbf{C}$ 是对角阵，故『$\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$』等价于『$\mathbf{A}$ 可对角化』。可对角化卡在重根 $\lambda =2$：几何重数 $3-r(2\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 是否等于代数重数 $2$。分别算秩即可判断，无需真去构造相似变换矩阵。

本题考查相似矩阵的判定。 三个矩阵都是上三角，特征值都是 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2,{\lambda }_3=1$。$\mathbf{C}$ 为对角阵，故判断 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 能否与 $\mathbf{C}$ 相似，等价于判断 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 能否对角化（关键看二重特征值 $\lambda =2$ 是否有 $2$ 个线性无关特征向量）。

对 $\mathbf{A}$：$2\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(2\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$，故 $\lambda =2$ 有 $3-1=2$ 个无关特征向量，$\mathbf{A}$ 可对角化，从而 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$。

对 $\mathbf{B}$：$2\mathbf{E}-\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(2\mathbf{E}-\mathbf{B})=2$，故 $\lambda =2$ 只有 $3-2=1$ 个无关特征向量，$\mathbf{B}$ 不可对角化，从而 $\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{C}$ 不相似。

综上，$\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{C}$ 相似，$\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{C}$ 不相似，应选 B。