2017 年考研数学（一） 第 5 题

判断可逆性最快的办法是看特征值里有没有 $0$。$\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 是秩 $1$ 矩阵，且因 $\mathbf{\alpha }$ 为单位向量满足 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$（幂等），特征值只能是 $0$ 或 $1$，再由迹 $=1$ 定出特征值为 $1,0,\cdots ,0$。于是 $\mathbf{E}-\mathbf{A}$ 必含零特征值故不可逆。抓住『秩 $1$ + 幂等』这个结构是破题关键。

本题考查矩阵 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的特征值与可逆性判定。 因 $\mathbf{\alpha }$ 为单位列向量，${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$。

记 $\mathbf{A}=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$，则 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{\alpha }({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }){\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}$。由 ${\lambda }^2=\lambda$ 知 $\mathbf{A}$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。又 $\mathrm{tr}\mathbf{A}={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=1$，故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0$，${\lambda }_n=1$。

于是 $\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的特征值为 $1,\cdots ,1,0$，含有零特征值，故 $|\mathbf{E}-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}|=0$，不可逆。而 $\mathbf{E}+\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$、$\mathbf{E}+2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$、$\mathbf{E}-2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的特征值分别含 $2$、$3$、$-1$，均无零特征值，都可逆。应选 A。