2017 年考研数学（一） 第 4 题

图像题要把几何面积与物理量对应：$v$-$t$ 图下的面积是路程，两曲线之间的面积是路程差。追上的条件是『乙的总路程 = 甲的总路程 + 初始领先 $10$』，即 ${\int }_0^{t_0}[v_1-v_2]dt=-10$。于是把三块阴影按『甲快为正、乙快为负』累加，看在哪个时刻累计恰为 $-10$，即锁定 $t_0$。

本题考查定积分表示变速直线运动的路程。 速度对时间的积分等于所走的路程，两人速度曲线之间的面积即两人路程之差。

从 $t=0$ 到 $t=t_0$，甲、乙走过的路程分别为
$$S_1={\int }_0^{t_0}{v}_1(t)dt,S_2={\int }_0^{t_0}{v}_2(t)dt.$$
乙追上甲当且仅当乙比甲多走了开始时的领先距离 $10$，即 $S_2=S_1+10$，也就是
$${\int }_0^{t_0}[v_1(t)-v_2(t)]dt=-10.$$

${\int }_0^{t_0}[v_1(t)-v_2(t)]dt$ 等于（甲快于乙的面积）减去（乙快于甲的面积）。当 $t_0=25$ 时，其值为 $10-20=-10$，恰好满足条件。因此 $t_0=25$，应选 C。