2017 年考研数学（一） 第 3 题

求方向导数是套公式题，核心公式是『梯度点乘单位方向』。最容易踩的坑是忘记把方向向量单位化——$(1,2,2)$ 的模长为 $3$，必须先归一化成方向余弦。按『先求梯度、再求方向余弦、最后点积』的顺序走，条理清楚就不会漏系数。

本题考查方向导数的计算。 方向导数等于梯度与单位方向向量的数量积。

先求偏导数：$f_x=2xy$，$f_y=x^2$，$f_z=2z$。在点 $(1,2,0)$ 处
$$f_x=4,f_y=1,f_z=0,$$
即 $\mathrm{grad}f(1,2,0)=(4,1,0)$。

$\mathbf{n}=(1,2,2)$ 的方向余弦为 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。故
$${\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}|}_{(1,2,0)}=4\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}+0\times \frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2.$$
应选 D。