2017 年考研数学（一） 第 2 题

条件 $f{f}^{\prime }>0$ 直接用无从下手，关键洞察是 $f{f}^{\prime }=\frac{1}{2}(f^2{)}^{\prime }$，于是条件等价于『$f^2(x)$ 单调递增』。而 $f^2=|f{|}^2$，比较 $f^2(1)$ 与 $f^2(-1)$ 就是比较绝对值。这是『凑导数、构造 $f^2$ 辅助函数』的典型思路：当直接量不可比时，转而比较它的平方。

本题考查导数符号与函数单调性的关系。 关键是构造 $f^2(x)$。

由 $f(x)f^{\prime }(x)>0$ 知 ${\left[\frac{1}{2}{f}^2(x)\right]}^{\prime }=f(x)f^{\prime }(x)>0$，故 $f^2(x)$ 单调递增。

于是 $f^2(1)>f^2(-1)$，即 $|f(1)|>|f(-1)|$。

（注：$f(x)f^{\prime }(x)>0$ 说明 $f(x)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 恒同号，$f$ 不变号；若 $f>0$ 则 $f^{\prime }>0$、$f$ 递增，若 $f<0$ 则 $f^{\prime }<0$、$f$ 递减，均无法直接比较 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 的大小，但绝对值必增大。）故应选 C。