2017 年考研数学（一） 第 1 题

看到『在 $x=0$ 处连续』且函数分段，立刻回到连续的定义：左极限=右极限=函数值。左侧与函数值都是常数 $b$，真正要算的只是右极限。而 $1-\cos \sqrt{x}$ 的形式提示用等价无穷小替换快速求极限，避免洛必达的繁琐；求出右极限再令其等于 $b$ 即定关系。

本题考查分段函数在分界点处的连续性。 只需让右极限、左极限与函数值三者相等。

当 $x\to 0^{+}$ 时，$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}(\sqrt{x}{)}^2=\frac{x}{2}$，故
$$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x/2}{ax}=\frac{1}{2a}.$$

又 $f(0)=f(0^{-})=b$。由连续性 $f(0^{+})=f(0)$，得 $\frac{1}{2a}=b$，即 $2ab=1$，$ab=\frac{1}{2}$。故应选 A。