2017 年考研数学（一） 第 7 题

条件概率不等式直接比较很难，通用手法是『去条件』：把每个都化到 $P(AB)$ 与 $P(A)P(B)$ 的大小关系（即 $A,B$ 是否正相关）。一旦发现题设与某个选项都等价于同一条件 $P(AB)>P(A)P(B)$，充要关系便水落石出。凭『正相关是对称的』这一直觉，也能预判该选与 $B,A$ 角色对调的那一项。

本题考查条件概率与事件的正相关性。 把条件概率不等式化为 $P(AB)$ 与 $P(A)P(B)$ 的比较即可。

由 $P(A\mid B)>P(A\mid \bar{B})$ 得 $\frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}$，整理得
$$P(A\mid B)>P(A\mid \bar{B})⟺P(AB)>P(A)P(B).$$

同理，由 $P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})$ 得 $\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}$，整理也得
$$P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})⟺P(AB)>P(A)P(B).$$

两者等价于同一条件 $P(AB)>P(A)P(B)$（即 $A,B$ 正相关），故 $P(A\mid B)>P(A\mid \bar{B})$ 的充分必要条件是 $P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})$。应选 A。