2017 年考研数学（一） 第 8 题

${\chi }^2$ 分布的本质是『独立标准正态的平方和』，所以每个选项都试着写成标准正态平方的形式，重点看方差归一化后的系数对不对。例如 $X_n-X_1\sim N(0,2)$，正确的应除以方差 $2$，而选项 (B) 给的是乘 $2$，系数错位。这类题的错误往往藏在系数而非结构里，逐项核对系数即可揪出。

本题考查正态总体导出的 ${\chi }^2$ 分布。 因总体 $X\sim N(\mu ,1)$，${\sigma }^2=1$，有标准结论
$$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n),\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1).$$

逐项分析：
- (A) $X_i-\mu \sim N(0,1)$ 且相互独立，故 $\sum (X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$，正确。
- (C) 由上述第二个结论，$\sum (X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$，正确。
- (D) 因 $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{1}{n}\right)$，故 $\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )\sim N(0,1)$，从而 $n(\bar{X}-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1)$，正确。

- (B) $X_n-X_1\sim N(0,2)$，故 $\frac{X_n-X_1}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$\frac{(X_n-X_1{)}^2}{2}\sim {\chi }^2(1)$。而 $2(X_n-X_1{)}^2=4\cdot \frac{(X_n-X_1{)}^2}{2}$，多了系数 $4$，不服从 ${\chi }^2$ 分布。

因此不正确的是 (B)，应选 B。